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1. Introduction
2. Syntaxe
3. Fonctions / Paramtres
4. Utilisation
5. Optimisation

1) Introduction

Cette doc n'est utile comprendre que quand l'on sait dj fabriquer des images avec le programme AIMFRACT. Elle explique comment crire de nouvelles formules qui pourront tre utilises par AIMFRACT.

Quand on compile un fichier de formules (avec FORMULE.EXE), il est demand si l'on veut avec coprocesseur ou sans. Les fichiers compils pour le coprocesseur ont pour extension cop. Ceux compils sans ont pour extension emu (mulation).

Pour information, FORMULE.EXE fabrique un vritable programme en langage machine.

2) Syntaxe

Pour crire un commentaire il faut placer un $ au dbut de la ligne, ainsi la ligne ne sera pas prise en compte.

Pour chaque algorithme, il y a trois formules :

• la 1re, F, pour initialiser ;
• la 2me, G, pour le test de sortie ;
• la 3me, H, pour l'itration.

Lors du dessin, vos formules sont utilises ainsi :
z = F
Tant que G(z) <= 0, z = H(z)

Puis le nombre d'itrations effectues sert dterminer la couleur du point.

Exemple d'criture :
$ image de Mandelbrot
2: 0; |z| > 2; z*z+z0;

G = |z| > 2 , la comparaison ">" est vue comme une fonction qui rend 0 ou 1, on a donc bien : arrt si G > 0. On peut utiliser les autres fonctions de comparaison.
2 est le numro d'algorithme, il est toujours suivi par ":", puis par F, G et H avec un point-virgule la fin de chaque formule.

Chaque formule est aussi grande que l'on veut, elle peut tre crite sur plusieurs lignes, comprendre des espaces, mais elle doit absolument finir par ";".
Pour crire ces formules, vous avez des fonctions, des paramtres et les chiffres.

3) Fonctions / Paramtres

Fonctions :

• fonctions arithmtiques : +, -, *, /,
• cos pour cosinus
• sin pour sinus
• tan pour tangente
• acos pour arccosinus
• asin pour arcsinus
• atan pour arctangente
• logr et logc pour logarithme nprien.
  il faut prendre logr quand l'argument est un rel strictement positif sinon il faut prendre logc. logc est identique logr sur les rels strictement positifs mais plus lente.
• exp pour exponentielle
• puic et puir pour puissance, s'crivent : 2 puic 3 ou puic(2,3)
  il faut prendre puir quand le premier argument est un rel strictement positif sinon il faut prendre puic.
• arg pour argument (donne l'angle en radian) :
  ex : arg(1) = 0, arg(-2) = arg(-1) = PI, arg(i) = PI/2
• norme ou valeur absolue, s'crit norme(2) ou |2|
• sgn pour rendre le signe,
  ex : sgn(0) = 0, sgn(2) = 1, sgn(-4) = -1, sgn(-2+i*3) = -1+i
• conj pour conjugu,
  conj(2) = 2, conj(2+i*3) = 2-3*i
• mod pour modulo (reste de la division du 1er arg par le 2ime), on ne prend en compte que la partie relle du 2ime argument,
  ex : mod(2,3) = 2, mod(-5.3,3) = 0.7, mod(-5.3+5.3*i,3) = 0.7+2.3*i
• real donne la partie relle d'un complexe
• imag donne la partie imaginaire d'un complexe
• fonctions boolennes : >=,<=,<,>,=, elles rendent 1 si c'est vrai, 0 sinon. Leur priorit est identique entre elles et est infrieure celle de tous les autres oprateurs.
  2+3*i > 1+2*i sera vu ainsi : 2>1 et 3>2 donc le rsultat est 1
  3+2*i > 1+4*i sera vu ainsi : 3>1 et 2>4 donc le rsultat est 0
• max rend le maximum,
  ex : max(2,3)=3, max(2+i*3,i*4)=2+i*4
• min rend le minimum.
• ent rend la partie entire,
  ex : ent(2.45) = 2, ent(-1.25) = -2, ent(2.4+i*8.56) = 2+i*8
• rz(z) est gal 1 si z nul, sinon est gal z

Ces fonctions sont valables aussi bien pour les rels que pour les complexes.

Paramtres

• pi pour 3,1415 ...
• i est le complexe tel que i*i=-1
• c = cx+i*cy, cx pour Constante X, cy pour Constante Y
• p = px+i*py, px pour Puissance Relle, py pour Puissance Imaginaire
• z0 = x0+i*y0, x0 et y0 seront remplacs par les coordonnes du point lors du calcul
• z = x+i*y, x et y seront remplacs par les rsultats du calcul pour l'itration suivante, il est conseill de les avoir dans la formule, autrement chaque itration le rsultat sera le mme et si de plus x0 et y0 n'apparaissent pas dans la formule, le rsultat sera le mme en tout point.
• nor pour Norme
• coor pour Coordonnes
• v0 v9 : les 10 variables annexes
• Les autres paramtres gnraux ainsi que ceux pour crire du texte seront pris en compte lors du calcul mais n'interviennent pas dans les formules elles-mme.

4) Utilisation

Vous pouvez utiliser tous les paramtres comme bon vous semble dans les 3 formules (F, G, H), part z dans F, en effet F initialise z (=x+i*y), donc on ne doit pas avoir x, y ou z apparaissant dedans.

Attention aux fonctions ayant un domaine de dfinition restreint (/, logr, puir ...), nous n'avons pas encore implant de gestion d'erreurs plus sophistique que celle du DOS qui fait sortir du logiciel en cas d'erreur (ex : divide error). Pour viter ces erreurs, vous pouvez utiliser certaines fonctions comme max, min, norme, rz (1/rz(x) au lieu de 1/x).

Une fois vos formules crites, il faut appeler le programme FORMULE.EXE, suivi du nom du fichier de formules sans l'extension ; ce programme rend les formules assimilables par AIMFRACT, en crant un nouveau fichier de mme nom et d'extension cop ou emu. Tous ces fichiers doivent se trouver dans le rpertoire d'o est lanc AIMFRACT.

Vous pouvez tester vos formules sur quelques points grce au logiciel TESTFORM.EXE

5) Optimisation

Ce chapitre n'est pas ncessaire une utilisation lmentaire des formules.

Le temps de calcul peut tre rduit par deux mthodes :

• en utilisant des fonctions rapides calculer : ce sont celles que l'on arrive faire la main : + * - /
  Par ex : comme test de sortie, il vaut mieux crire x*x+y*y-4 plutt que |z|>2
• en facilitant le boulot du simplificateur : pour cela, voici les 3 simplifications faites par le programme FORMULE.EXE :
  1. Pour une mme formule, si FORMULE.EXE repre que le calcul a dj t fait, on utilise le rsultat dj obtenu. Par exemple, pour x*x/(x*x+1), x*x ne sera calcul qu'une fois. Autre exemple : cos(sin(y+cx*x+x))+tan(y+cx*x), l y+cx*x ne sera calcul qu'une fois. Le programme ne connaissant pas les lois de commutativit, distributivit et associativit, si on crit sin(x+y)+cos(y+x), il ne fera aucune simplification.
     Les nombres complexes tant dcomposs, le nombre de simplifications indiqu par FORMULE.EXE peut tre plus grand que le nombre d'oprateurs que vous avez crit, ex : z*z/(z*z+1) a 6 simplifications.
  2. FORMULE.EXE utilise le fait que le rsultat de certaines fonctions est un rel, si vous pensez qu'il ne peut pas le dduire, vous pouvez le lui indiquer en prenant la partie relle.
     Exemple : la place d'crire cos(z * conj(z)), crivez cos(real(z * conj(z))), real ne prend pas de temps au moment du calcul et c'est le cos rel qui sera utilis la place du cos complexe.
     FORMULE.EXE prend en compte que x,y,cx ... sont des rels, et connait les fonctions rendant un rel (par ex : cos d'un rel est rel et cos d'un complexe est un complexe).
  3. Dans une formule, par exemple z0*z0+cx*cx+z*z, le paramtre cx ne varie pas au cours du calcul de toute l'image, on calcule alors cx*cx une fois par image.
     Chaque formule est divise en 3 routines : la premire s'excute une fois par image, la deuxime une fois par point et la troisime une fois par itration. Par exemple si cos(sin(cx puic p)) apparait dans une formule, il ne sera calcul qu'une fois par image.
     Pour profiter pleinement de cette simplification, il faut faire gaffe ceci :
     Dans cx*z0*z, cx*z0 sera calcul une fois par point mais dans z*cx*z0 le calcul se fera chaque itration car l'analyseur comprend (z*cx)*z0
     Ce qui est constant sur l'image : tout sauf z0, x0, y0, z, x, y
     Ce qui est constant sur un point : tout sauf z, x, y
• En utilisant les fonctions les plus rapides : il y a 2 cas o vous avez le choix,
  1. entre logr et logc : si vous tes sr que l'argument est un rel strictement positif utilisez logr.
  2. entre puir et puic : pareil que pour log pour le premier argument.
     FORMULE.EXE ne fait absolument aucune dduction sur le signe des rels, c'est vous de choisir le bon log et la bonne puissance.

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